Bao đóng và bao mở

Bao lồi đóng của một tập hợp là tập đóng của bao lồi, và bao lồi mở là phần trong (hoặc, trong một số tài liệu, phần trong tương đối) của bao lồi.[8]

Bao lồi đóng của X {\displaystyle X} là giao của tất cả các nửa không gian đóng chứa X {\displaystyle X} . Nếu bao lồi của X {\displaystyle X} đã là một tập đóng (xảy ra chẳng hạn khi X {\displaystyle X} là một tập hữu hạn hoặc, tổng quát hơn, là một tập compact) thì nó bằng bao lồi đóng đó. Tuy nhiên, giao của các nửa không gian đóng là tập đóng, nên khi một bao lồi không phải là bao lồi đóng thì nó không thể biểu diễn được theo cách này.[9]

Nếu bao lồi mở của một tập hợp X {\displaystyle X} là bao lồi d {\displaystyle d} chiều thì mỗi điểm trong bao đó thuộc một bao lồi mở gồm nhiều nhất 2 d {\displaystyle 2d} điểm thuộc tập X {\displaystyle X} . Tập hợp các đỉnh của một hình vuông, một khối 8 mặt đều, hoặc đa diện chéo trong không gian nhiều chiều là những ví dụ về tập hợp cần đúng 2 d {\displaystyle 2d} điểm.[10]

Sự bảo toàn tính chất tôpô

Đường cong phù thủy Agnesi, một ví dụ về tập đóng có bao lồi là mở (nửa không gian trên mở)

Về mặt tôpô, bao lồi của một tập mở luôn luôn là bao lồi mở, và bao lồi của một tập compact luôn luôn là bao lồi compact. Tuy nhiên, có một số tập đóng có bao lồi không phải là bao lồi đóng.[11] Chẳng hạn, tập đóng

{ ( x , y ) | ⁡ y ≥ 1 1 + x 2 } {\displaystyle \left\{(x,y)\mathop {\bigg |} y\geq {\frac {1}{1+x^{2}}}\right\}}

(tập hợp các điểm thuộc hoặc nằm phía trên đường cong phù thủy Agnesi) có bao lồi là nửa mặt phẳng trên mở.[12]

Tính compact của bao lồi của tập compact trong không gian Euclid với số chiều hữu hạn được khái quát hóa bằng định lý Krein–Smulian, theo đó bao lồi đóng của một tập con compact yếu trong một không gian Banach (một tập con có tính compact dưới dạng tôpô yếu) là bao lồi compact yếu.[13]

Điểm cực biên

Một điểm cực biên của một tập lồi là một điểm trong tập hợp không nằm trên một đoạn thẳng giữa hai điểm khác trong cùng tập hợp đó. Đối với một bao lồi, mỗi điểm cực biên đều phải thuộc tập đã cho, vì ngược lại nó không thể tạo thành một tổ hợp lồi gồm các điểm đã cho. Theo định lý Krein–Milman, mỗi tập lồi compact trong một không gian Euclid (hoặc, tổng quát hơn, trong một không gian vectơ tôpô lồi cục bộ) là bao lồi của các điểm cực biên của nó.[14] Tuy nhiên, định lý này có thể không đúng đối với các tập lồi không compact; ví dụ, toàn bộ mặt phẳng Euclid và quả cầu đơn vị mở đều có tính lồi, nhưng chúng không có điểm cực biên nào. Lý thuyết Choquet mở rộng định lý này từ tổ hợp lồi hữu hạn của các điểm cực biên sang tổ hợp vô hạn trong các không gian tổng quát hơn.[15]